Regra de Três Composta: Desvendando sua Aplicação Avançada

 A regra de três composta é uma ferramenta poderosa da matemática que vai além das aplicações básicas. Neste artigo, exploraremos em detalhes a regra de três composta e apresentaremos três exemplos avançados que demonstram seu uso em situações mais complexas.

Revisão da Regra de Três Composta

A regra de três composta é uma técnica que permite relacionar três ou mais grandezas de maneira proporcional, ou seja, encontrar o valor de uma quarta grandeza desconhecida com base em três grandezas conhecidas. Ela é frequentemente usada em situações que envolvem comparações e proporções.

A fórmula geral da regra de três composta pode ser expressa como:

$$\frac{�}{�}=\frac{�}{�}\cdot \frac{�}{�}\cdot \dots$$

Onde:

• $�$ e $�$ são grandezas conhecidas que se relacionam.
• $�$ e $�$ são outras grandezas que se relacionam.
• $�$ e $�$ são pares adicionais de grandezas relacionadas, caso necessário.

Agora, vamos explorar três exemplos avançados que ilustram a aplicação da regra de três composta em situações do mundo real.

Exemplo 1: Mistura de Investimentos

Problema: Você deseja investir em uma carteira de investimentos que inclui ações, títulos e fundos mútuos. Você tem um total de R$ 100.000 para investir. Sabe que ações oferecem um retorno anual de 10%, títulos 5%, e fundos mútuos 7%. Quanto você deve investir em cada categoria para obter um retorno anual de R$ 7.000?

Solução:

1. Identificação das grandezas conhecidas e desconhecidas: As grandezas conhecidas são o total disponível para investimento (R$ 100.000), as taxas de retorno para cada categoria (10%, 5% e 7%), e o retorno desejado (R$ 7.000). As grandezas desconhecidas são os valores que você deve investir em cada categoria.

2. Organização das grandezas em pares: Relacione o valor investido em ações com o retorno das ações, o valor investido em títulos com o retorno dos títulos e o valor investido em fundos mútuos com o retorno dos fundos mútuos.

3. Montagem da proporção:

$$\frac{\text{Valor em A}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{o}}\text{es}}{\text{Valor em T}\acute{\text{ı}}\text{tulos}}=\frac{10\mathrm{\%}}{5\mathrm{\%}}\text{e}\frac{\text{Valor em T}\acute{\text{ı}}\text{tulos}}{\text{Valor em Fundos M}\acute{\text{u}}\text{tuos}}=\frac{5\mathrm{\%}}{7\mathrm{\%}}$$

4. Resolução das equações: Usando a regra de três composta, você pode calcular os valores de investimento em ações, títulos e fundos mútuos que resultarão no retorno desejado.

Exemplo 2: Concentração de Substâncias

Problema: Em um laboratório, você está trabalhando com uma solução que contém 20% de ácido sulfúrico. Você deseja criar uma nova solução que contenha 10% de ácido sulfúrico. Quantos litros da solução original você deve misturar com uma solução de ácido sulfúrico mais concentrada (100%) para obter 2 litros da nova solução desejada?

Solução:

1. Identificação das grandezas conhecidas e desconhecidas: Você conhece a concentração da solução original (20%), a concentração da solução mais concentrada (100%), o volume da nova solução (2 litros) e deseja encontrar o volume da solução original e o volume da solução mais concentrada a serem misturados.

2. Organização das grandezas em pares: Relacione o volume da solução original com a concentração da solução original e o volume da solução mais concentrada com sua concentração.

3. Montagem da proporção:

$$\frac{\text{Volume da Solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o Original}}{\text{Volume da Solu}\stackrel{¸}{\text{c}}\tilde{\text{a}}\text{o Mais Concentrada}}=\frac{80\mathrm{\%}}{-90\mathrm{\%}}$$

4. Resolução das equações: Usando a regra de três composta, você pode calcular os volumes necessários da solução original e da solução mais concentrada para criar a nova solução desejada.

Exemplo 3: Fluxo de Trabalho em uma Fábrica

Problema: Uma fábrica produz peças em três estágios distintos: corte, soldagem e pintura. A taxa de produção do corte é de 50 peças por hora, da soldagem é de 40 peças por hora, e da pintura é de 30 peças por hora. Se você deseja produzir 600 peças, quantas horas serão necessárias para cada estágio do processo?

Solução:

1. Identificação das grandezas conhecidas e desconhecidas: As grandezas conhecidas são as taxas de produção em cada estágio e a quantidade desejada de peças a serem produzidas (600 peças). As grandezas desconhecidas são as horas necessárias em cada estágio.

2. Organização das grandezas em pares: Relacione o número de horas necessárias em cada estágio com a taxa de produção nesse estágio.

3. Montagem da proporção:

$$\frac{\text{Horas no Corte}}{\text{Horas na Soldagem}}=\frac{50}{40}\text{e}\frac{\text{Horas na Soldagem}}{\text{Horas na Pintura}}=\frac{40}{30}$$

4. Resolução das equações: Usando a regra de três composta, você pode calcular as horas necessárias em cada estágio do processo para produzir 600 peças.

Conclusão

A regra de três composta é uma ferramenta matemática versátil que pode ser aplicada em situações mais complexas do mundo real. Com a identificação cuidadosa de grandezas conhecidas e desconhecidas, a organização das grandezas em pares e a montagem de proporções apropriadas, você pode resolver problemas envolvendo múltiplas variáveis