Introdução à Progressão Geométrica: O que é e como funciona

 A progressão geométrica, ou PG, é um conceito matemático que pode parecer complexo à primeira vista, mas na verdade é bastante simples de entender. Neste artigo, vamos explorar o que é uma progressão geométrica, como ela funciona e forneceremos exemplos para facilitar a compreensão, mesmo para aqueles que não têm muita experiência em matemática. Vamos lá!

O que é uma Progressão Geométrica?

Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números em que cada termo subsequente é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada "razão". Essa razão é representada por "r". Em outras palavras, na PG, cada termo é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante fixa.

A fórmula geral para encontrar o n-ésimo termo de uma progressão geométrica é:

${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}$

Onde:

• ${�}_{�}$ é o n-ésimo termo da sequência.
• ${�}_1$ é o primeiro termo da sequência.
• $�$ é a razão com a qual você multiplica os termos sucessivos.
• $�$ é o número do termo que você deseja encontrar.

Exemplo 1: Uma PG Simples

Vamos considerar uma progressão geométrica simples:

$2,4,8,16,32,\dots$

Neste caso, o primeiro termo (${�}_1$) é 2, e a razão ($�$) é 4/2 = 2, pois você está multiplicando cada termo pelo número 2 para obter o próximo termo. Agora, se quisermos encontrar o sexto termo (${�}_6$), podemos usar a fórmula:

${�}_6=2\cdot 2^{(6-1)}$ ${�}_6=2\cdot 2^5$ ${�}_6=2\cdot 32$ ${�}_6=64$

Portanto, o sexto termo dessa PG é 64.

Exemplo 2: Uma PG Decrescente

As progressões geométricas não precisam necessariamente aumentar com o tempo. Elas também podem diminuir. Considere o exemplo a seguir:

$81,27,9,3,1,\dots$

Neste caso, o primeiro termo (${�}_1$) é 81, e a razão ($�$) é 27/81 = 1/3, pois você está multiplicando cada termo pelo número 1/3 para obter o próximo termo. Vamos encontrar o quarto termo (${�}_4$):

${�}_4=81\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{(4-1)}$ ${�}_4=81\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3$ ${�}_4=81\cdot \frac{1}{27}$ ${�}_4=3$

Portanto, o quarto termo dessa PG é 3.

As progressões geométricas são uma ferramenta matemática fundamental e útil. Elas podem ser encontradas em muitos aspectos da vida cotidiana, como finanças, ciência e muito mais. Saber como identificar e trabalhar com PGs pode ser muito valioso. Lembre-se de que, em uma PG, você está multiplicando cada termo pelo mesmo valor, chamado de razão. Com a fórmula geral e alguns exemplos simples, você pode começar a explorar esse conceito matemático de maneira mais profunda e aplicá-lo em várias situações. Portanto, não tenha medo de se aventurar no mundo das progressões geométricas!