A regra de três composta é uma ferramenta poderosa que nos permite solucionar problemas complexos envolvendo proporções e relações entre três ou mais grandezas. Ela é amplamente aplicada em situações do mundo real, desde finanças até engenharia e ciências. Neste conjunto de 20 exercícios, você terá a oportunidade de aprimorar suas habilidades matemáticas e testar seu conhecimento em uma variedade de cenários desafiadores. Cada exercício apresenta uma situação específica que requer o uso da regra de três composta para encontrar uma grandeza desconhecida. Prepare-se para expandir seu conhecimento matemático e aprofundar sua compreensão dessa valiosa técnica.
Problema 1: Velocidade Média
Solução:
Usando a regra de três composta:
Multiplicamos em cruz:
Dividimos ambos os lados por 4 horas:
Portanto, a velocidade média é de 75 km/h.
Problema 2: Conversão de Moedas
Solução:
Aplicando a regra de três composta:
Multiplicamos em cruz:
Portanto, 250 dólares são equivalentes a 212,5 euros.
Problema 3: Tempo e Trabalho
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Neste caso, as duas primeiras frações são iguais a 1 trabalho, pois representam o tempo necessário para realizar um trabalho. Portanto, o tempo necessário quando trabalham juntas é:
Portanto, quando trabalham juntas, elas levarão cerca de 3,43 horas para concluir o trabalho.
Problema 4: Mistura de Ingredientes
Solução:
Usando a regra de três composta:
Aqui, estamos procurando a quantidade de suco e água necessária para fazer 600 ml da bebida, então X + Y será igual a 600 ml.
Assim, podemos reescrever a equação como:
Multiplicamos em cruz:
Expandindo:
Movendo os termos:
Agora, isolamos X:
E, como X + Y é igual a 600 ml, podemos encontrar a quantidade de água:
Portanto, você precisaria de 360 ml de suco de laranja e 240 ml de água para fazer a bebida de 600 ml.
Problema 5: Combustível e Distância
Solução:
Aplicando a regra de três composta:
Multiplicamos em cruz:
Agora, isolamos C:
Portanto, você precisa de 30 litros de gasolina para percorrer 450 km.
Problema 6: Taxa de Produção
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Aqui, estamos comparando as taxas de produção de duas fábricas, Fábrica A e Fábrica B. A primeira fração representa a produção por hora da Fábrica A, e a segunda representa a produção por hora da Fábrica B.
Agora, vamos calcular a produção por hora de ambas as fábricas:
Para a Fábrica A:
E para a Fábrica B:
Ambas as fábricas têm uma taxa de produção de 25 unidades por hora, o que significa que elas têm a mesma eficiência em termos de produção por hora.
Problema 7: Diluição de Soluções
Solução:
Usando a regra de três composta:
Primeiro, calcule a proporção da solução que é sal puro:
Isso significa que a solução contém 30% de sal puro.
Agora, calcule a quantidade de solução necessária para obter 400 gramas de sal puro:
Portanto, você precisaria de aproximadamente 1333,33 ml de solução de ácido com concentração de 30% para obter 400 gramas de sal puro.
Problema 8: Proporção e Escala
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Para encontrar a altura real da árvore em metros, podemos multiplicar em cruz:
Agora, vamos converter centímetros para metros, dividindo por 100:
Portanto, a altura real da árvore é de 200 metros.
Problema 9: Taxa de Alimentação
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Para encontrar o tempo necessário para encher o tanque, podemos calcular a taxa de enchimento combinada das torneira e do ralo:
Para resolver isso, você pode somar as duas frações do lado direito:
Agora, invertemos o sinal negativo e calculamos T:
No entanto, o tempo não pode ser negativo neste contexto. Portanto, a resposta é que o tanque nunca estará cheio, uma vez que a taxa de esvaziamento é maior que a taxa de enchimento.
Problema 10: Produção em Equipe
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Para encontrar o tempo necessário quando trabalham juntos, podemos calcular a taxa de produção combinada dos três trabalhadores:
Para resolver isso, some as três frações do lado direito:
Agora, simplificamos a fração:
Agora, invertemos a fração e calculamos T:
Portanto, quando trabalham juntos, eles levariam cerca de 2,67 horas para concluir o trabalho.
Problema 11: Mistura de Combustíveis
Solução:
Usando a regra de três composta:
Aqui, estamos procurando as quantidades de A e B para fazer a mistura de combustíveis na proporção de 2:3. Isso significa que X é o dobro de Y. Portanto, podemos escrever Y em termos de X:
Agora, sabemos que a quantidade total é de 15 litros (2 partes de A + 3 partes de B), então podemos escrever:
Substituindo Y em termos de X:
Agora, some as quantidades de A:
Para isolar X, dividimos ambos os lados por $\frac{5}{3}$:
Lembre-se de que dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso:
Agora, calcule X:
Agora que sabemos a quantidade de A, podemos encontrar a quantidade de B:
Portanto, você precisa de 9 litros de combustível A e 6 litros de combustível B para fazer a mistura na proporção de 2:3.
Problema 12: Concentração de Soluções
Solução:
Usando a regra de três composta:
Primeiro, calcule a proporção da solução que é sal puro:
Isso significa que a solução contém 20% de sal puro.
Agora, calcule a quantidade de solução necessária para obter 400 gramas de sal puro:
Portanto, você precisaria de 2000 ml de solução de sal com uma concentração de 20% para obter 400 gramas de sal puro.
Problema 13: Trabalho em Equipe
Solução:
Usando a regra de três composta:
Aqui, estamos comparando o tempo necessário para concluir um projeto com 4 pessoas em relação ao tempo com 8 pessoas. Primeiro, vamos encontrar a taxa de trabalho das 4 pessoas:
Agora, para encontrar a taxa de trabalho das 8 pessoas, usamos a mesma taxa de trabalho das 4 pessoas, pois se dobrarmos a equipe, o trabalho será concluído em menos tempo:
Portanto, com 8 pessoas, o projeto seria concluído em 5 dias.
Problema 14: Rendimento da Colheita
Solução:
Usando a regra de três composta:
Primeiro, encontramos a taxa de trabalho de um agricultor:
Agora, para encontrar a taxa de trabalho de 3 agricultores, multiplicamos a taxa de trabalho de um agricultor por 3, pois eles estão trabalhando juntos:
Portanto, com a ajuda de 2 outros agricultores, o projeto seria concluído em 12 dias.
Problema 15: Velocidade dos Ventos
Solução:
Usando a regra de três composta:
Neste caso, estamos comparando o tempo necessário para percorrer uma distância de 120 km com vento contrário, em relação ao tempo com vento a favor. Primeiro, encontramos a taxa de trabalho com vento a favor:
Agora, para encontrar o tempo com vento contrário, usamos a mesma taxa de trabalho, pois a velocidade do vento contrário é o dobro da velocidade do veleiro:
Portanto, o tempo necessário para percorrer a mesma distância com vento contrário é o mesmo, ou seja, 6 horas.
Problema 16: Mistas em Receitas
Solução:
Usando a regra de três composta:
Aqui, estamos dobrando a quantidade da receita, o que significa que X será o dobro da quantidade de farinha. Portanto, podemos reescrever a proporção da seguinte forma:
Agora, simplificamos:
Portanto, a quantidade de farinha necessária ainda será o dobro da quantidade de açúcar.
Problema 17: Produção em Escala
Solução:
Usando a regra de três composta:
Primeiro, encontramos a taxa de produção da fábrica:
Agora, para encontrar o tempo necessário para produzir 500 peças, usamos a mesma taxa de produção, pois estamos produzindo o mesmo produto:
Portanto, levaria 40 horas para produzir 500 peças do mesmo produto.
Problema 18: Eficiência Energética
Solução:
Usando a regra de três composta:
Neste caso, estamos comparando o consumo de energia das duas lâmpadas. Primeiro, encontramos a proporção do consumo de energia da lâmpada B em relação à lâmpada A:
Agora, simplificamos a fração:
Agora, isolamos X:
Portanto, a lâmpada A é 125% mais eficiente em termos de consumo de energia do que a lâmpada B.
Problema 19: Trabalho em Construção
Solução:
Utilizando a regra de três composta:
Primeiro, encontramos a taxa de trabalho do Pedreiro A:
Agora, encontramos a taxa de trabalho do Pedreiro B:
Agora, para encontrar o tempo necessário quando trabalham juntos, somamos as taxas de trabalho:
Portanto, quando trabalham juntos, levariam 15 horas para construir o muro.
Problema 20: Taxa de Desconto
Solução:
Usando a regra de três composta:
Neste caso, estamos calculando o preço de um produto após um desconto de 20% em relação ao preço original de $150. Primeiro, calculamos a proporção do preço com desconto em relação ao preço original:
Agora, simplificamos a fração:
Agora, isolamos X:
Portanto, o preço do produto após o desconto de 20% será de 80% do preço original, o que equivale a $120. Portanto, o preço do produto após o desconto será de $120.