15 Exercícios Básicos de Regra de Três Inversamente Proporcional com Resoluções

 A regra de três inversamente proporcional é uma técnica matemática poderosa para lidar com situações em que duas grandezas estão inversamente relacionadas. Neste artigo, apresentaremos 15 exercícios básicos que envolvem a aplicação da regra de três inversamente proporcional. Para cada exercício, forneceremos uma solução detalhada para ajudar a compreender e aplicar esse conceito.

Exercício 1: Velocidade e Tempo

Um carro viaja a uma velocidade constante de 60 km/h. Se a viagem leva 3 horas, qual seria o tempo necessário para fazer a mesma viagem a uma velocidade de 80 km/h?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Velocidade do carro (primeira situação).
   • $�$: Tempo da viagem (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $60\cdot 3=�$ $�=180$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Velocidade do carro (segunda situação).
   • $�$: Tempo da viagem (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo tempo: $80\cdot �=180$ $�=\frac{180}{80}$ $�=2.25$

Portanto, o tempo necessário para fazer a mesma viagem a 80 km/h é de 2,25 horas (ou 2 horas e 15 minutos).

Exercício 2: Produção e Trabalhadores

Uma fábrica com 4 máquinas produz 200 peças em 5 dias. Se a produção deve ser duplicada em 3 dias, quantas máquinas adicionais são necessárias?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir uma quantidade de produtos (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $4\cdot 5=�$ $�=20$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir a mesma quantidade de produtos (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo tempo: $�\cdot 3=20$ $�=\frac{20}{3}$ $�\approx 6.67$

Como o número de máquinas deve ser um número inteiro, você precisará de pelo menos 7 máquinas adicionais para duplicar a produção em 3 dias.

Exercício 3: Intensidade de Luz e Distância

A intensidade da luz diminui à medida que nos afastamos da fonte de luz. Se a intensidade da luz é de 1000 lux a uma distância de 2 metros da fonte, qual é a intensidade da luz a uma distância de 5 metros?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Intensidade da luz (primeira situação).
   • $�$: Distância da fonte de luz (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1000\cdot 2=�$ $�=2000$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Intensidade da luz (segunda situação).
   • $�$: Distância da fonte de luz (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular a nova intensidade: $�\cdot 5=2000$ $�=\frac{2000}{5}$ $�=400$

Portanto, a intensidade da luz a uma distância de 5 metros é de 400 lux.

Exercício 4: Taxa de Trabalho

Um trabalhador é capaz de concluir um projeto em 15 horas de trabalho. Se deseja terminar o projeto em 10 horas, quantos trabalhadores adicionais devem ser contratados?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir o projeto (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1\cdot 15=�$ $�=15$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir o projeto (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de trabalhadores: $�\cdot 10=15$ $�=\frac{15}{10}$ $�=1.5$

Como o número de trabalhadores deve ser um número inteiro, você precisará de pelo menos 2 trabalhadores adicionais para concluir o projeto em 10 horas.

Exercício 5: Taxa de Juros e Tempo

Se você emprestar R$ 500 a uma taxa de juros de 8% ao mês, em quantos meses terá acumulado R$ 640 em juros?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Quantidade de juros acumulados.
   • $�$: Tempo em meses.

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $0.08\cdot 500\cdot �=�$ $0.08\cdot 500\cdot �=40�=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Quantidade de juros acumulados (segunda situação).
   • $�$: Tempo em meses (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo tempo: $0.08\cdot 500\cdot �=40�$ $40�=640$ $�=\frac{640}{40}$ $�=16$

Portanto, você acumulará R$ 640 em juros em 16 meses.

Exercício 6: Produção e Trabalho

Uma equipe de 6 trabalhadores pode terminar um projeto em 9 dias. Se desejam terminar o projeto em 6 dias, quantos trabalhadores adicionais devem ser contratados?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir o projeto (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $6\cdot 9=�$ $�=54$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir o projeto (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de trabalhadores: $�\cdot 6=54$ $�=\frac{54}{6}$ $�=9$

Portanto, você precisará de pelo menos 3 trabalhadores adicionais para concluir o projeto em 6 dias.

Exercício 7: Rendimento e Tempo

Se um investimento de R$ 2000 gera um rendimento de R$ 300 a cada mês, quanto tempo levará para que o rendimento acumulado seja de R$ 1200?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Rendimento acumulado.
   • $�$: Tempo em meses.

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $300\cdot �=�$ $300�=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Rendimento acumulado (segunda situação).
   • $�$: Tempo em meses (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo tempo: $300\cdot �=1200$ $300�=1200$ $�=\frac{1200}{300}$ $�=4$

Portanto, levará 4 meses para que o rendimento acumulado seja de R$ 1200.

Exercício 8: Trabalho e Tempo

Uma pessoa pode limpar uma casa em 6 horas. Se deseja concluir a limpeza em 3 horas, quantas pessoas adicionais são necessárias?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de pessoas (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a limpeza (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1\cdot 6=�$ $6=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de pessoas (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a limpeza (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de pessoas: $�\cdot 3=6$ $�=\frac{6}{3}$ $�=2$

Portanto, você precisará de pelo menos 1 pessoa adicional para concluir a limpeza em 3 horas.

Exercício 9: Trabalho e Tempo

Uma máquina pode concluir uma tarefa em 12 horas. Se deseja concluir a mesma tarefa em 6 horas, quantas máquinas adicionais são necessárias?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a tarefa (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1\cdot 12=�$ $12=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a tarefa (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de máquinas: $�\cdot 6=12$ $�=\frac{12}{6}$ $�=2$

Portanto, você precisará de pelo menos 1 máquina adicional para concluir a tarefa em 6 horas.

Exercício 10: Taxa de Trabalho

Um operário consegue construir um muro em 8 horas. Se deseja terminar a construção em 4 horas, quantos operários adicionais são necessários?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de operários (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a construção (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1\cdot 8=�$ $8=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de operários (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para concluir a construção (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de operários: $�\cdot 4=8$ $�=\frac{8}{4}$ $�=2$

Portanto, você precisará de pelo menos 1 operário adicional para concluir a construção em 4 horas.

Exercício 11: Produção e Tempo

Uma fábrica produz 1000 unidades de um produto em 10 dias. Se deseja duplicar a produção, quantos dias são necessários?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de dias para produzir 1000 unidades (primeira situação).
   • $�$: Fator de aumento da produção (segunda situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $10\cdot 1=�$ $10=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de dias para produzir 1000 unidades (segunda situação).
   • $�$: Fator de aumento da produção (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de dias: $�\cdot 2=10$ $�=\frac{10}{2}$ $�=5$

Portanto, você precisará de pelo menos 5 dias para duplicar a produção.

Exercício 12: Taxa de Produção

Uma impressora pode imprimir 240 páginas em 6 horas. Se deseja imprimir 360 páginas, quanto tempo levará?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de horas para imprimir 240 páginas (primeira situação).
   • $�$: Número de páginas a serem impressas (segunda situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $6\cdot 240=�$ $1440=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de horas para imprimir 360 páginas (segunda situação).
   • $�$: Número de páginas a serem impressas (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de horas: $�\cdot 360=1440$ $�=\frac{1440}{360}$ $�=4$

Portanto, levará 4 horas para imprimir 360 páginas.

Exercício 13: Produção e Trabalhadores

Uma equipe de 8 trabalhadores consegue produzir 400 peças em 4 dias. Se desejam produzir 600 peças, quantos trabalhadores adicionais são necessários?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir 400 peças (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $8\cdot 4=�$ $32=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de trabalhadores (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir 600 peças (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de trabalhadores: $�\cdot �=32$ $�\cdot �=600$ $�=\frac{600}{�}$

Aqui, você pode encontrar $�$ substituindo $�$ na primeira equação: $�\cdot \frac{600}{�}=32$ $600=32$ $�=\frac{600}{32}$ $�\approx 18.75$

Como o número de trabalhadores deve ser um número inteiro, você precisará de pelo menos 19 trabalhadores adicionais para produzir 600 peças.

Exercício 14: Rendimento e Tempo

Um investimento de R$ 5000 gera um rendimento de R$ 250 por mês. Se deseja acumular R$ 1000 em rendimentos, quantos meses levará?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Rendimento acumulado.
   • $�$: Tempo em meses.

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $250\cdot �=�$ $250�=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Rendimento acumulado (segunda situação).
   • $�$: Tempo em meses (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo tempo: $250\cdot �=1000$ $250�=1000$ $�=\frac{1000}{250}$ $�=4$

Portanto, levará 4 meses para acumular R$ 1000 em rendimentos.

Exercício 15: Produção e Máquinas

Uma máquina pode produzir 120 peças em 3 horas. Se deseja produzir 300 peças, quantas máquinas adicionais são necessárias?

Solução:

1. Identifique as grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (primeira situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir 120 peças (primeira situação).

2. Escreva a fórmula da regra de três inversamente proporcional: $�\cdot �=�$

3. Encontre $�$ com os valores iniciais: $1\cdot 3=�$ $3=�$

4. Agora, identifique as novas grandezas:

   • $�$: Número de máquinas (segunda situação).
   • $�$: Tempo necessário para produzir 300 peças (segunda situação).

5. Use $�$ para calcular o novo número de máquinas: $�\cdot �=3$ $�\cdot �=300$ $�=\frac{300}{�}$

Aqui, você pode encontrar $�$ substituindo $�$ na primeira equação: $�\cdot \frac{300}{�}=3$ $300=3$ $�=\frac{300}{3}$ $�=100$

Portanto, você precisará de pelo menos 99 máquinas adicionais para produzir 300 peças.

Esses exercícios de regra de três inversamente proporcional devem ajudar a aprimorar suas habilidades matemáticas e sua compreensão de como aplicar essa técnica a várias situações do mundo real. Lembre-se de que a prática é fundamental para dominar a matemática, e resolver exercícios é uma ótima maneira de desenvolver suas habilidades.