15 Exercícios Básicos de Progressão Geométrica com Resolução

 As progressões geométricas são um conceito fundamental na matemática que desempenham um papel importante em várias áreas, desde a física até as finanças. Neste artigo, apresentaremos 15 exercícios básicos de progressão geométrica, juntamente com soluções passo a passo para ajudar a aprimorar sua compreensão desse tópico. Vamos começar!

Exercício 1: Encontre o quinto termo de uma PG onde ${�}_1=2$ e $�=3$.

Solução: ${�}_5={�}_1\cdot {�}^{(5-1)}=2\cdot 3^4=162.$

Exercício 2: Calcule a soma dos primeiros 4 termos de uma PG com ${�}_1=5$ e $�=2$.

Solução: ${�}_4={�}_1\cdot \frac{1-{�}^4}{1-�}=5\cdot \frac{1-2^4}{1-2}=5\cdot \frac{1-16}{-1}=-75.$

Exercício 3: Encontre o termo ausente em uma PG de quatro termos, sabendo que os outros três são 1, 3 e 9.

Solução: Primeiro, calcule a razão: $�=\frac{3}{1}=3.$ Agora, encontre o quarto termo: ${�}_4={�}_3\cdot �=9\cdot 3=27.$

Exercício 4: Determine o valor de $�$ para que o $�$-ésimo termo de uma PG com ${�}_1=2$ e $�=4$ seja igual a 512.

Solução: ${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}=2\cdot 4^{(�-1)}=512.$ Resolvendo para $�$: $4^{(�-1)}=\frac{512}{2}=256.$ $4^{(�-1)}=4^4\mathrm{.}$ Assim, $�-1=4$, o que implica que $�=5$.

Exercício 5: Encontre a soma infinita de uma PG com ${�}_1=3$ e $�=1\mathrm{/}2$.

Solução: Uma soma infinita converge se $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }<1$. Neste caso, $\mathrm{\mid }1\mathrm{/}2\mathrm{\mid }<1$, portanto, a soma infinita converge. ${�}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{�}_1}{1-�}=\frac{3}{1-1\mathrm{/}2}=6.$

Exercício 6: Calcule a razão $�$ de uma PG onde o terceiro termo é 16 e o sexto termo é 256.

Solução: Para encontrar $�$, podemos usar a fórmula geral: ${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}\mathrm{.}$ Assim, temos: $16={�}_1\cdot {�}^{(3-1)}$ $256={�}_1\cdot {�}^{(6-1)}$ Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos: $\frac{256}{16}=\frac{{�}_1\cdot {�}^{(6-1)}}{{�}_1\cdot {�}^{(3-1)}}$ $16={�}^5$ $�=2.$

Exercício 7: Encontre o oitavo termo de uma PG onde ${�}_1=7$ e $�=3\mathrm{/}2$.

Solução: ${�}_8={�}_1\cdot {�}^{(8-1)}=7\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^7=\frac{3^7}{2^7}\cdot 7=\frac{2187}{128}\cdot 7=\frac{15309}{128}\mathrm{.}$

Exercício 8: Determine a soma dos primeiros 5 termos de uma PG com ${�}_1=1\mathrm{/}2$ e $�=4$.

Solução: ${�}_5={�}_1\cdot \frac{1-{�}^5}{1-�}=\frac{1\mathrm{/}2\cdot (1-4^5)}{1-4}=\frac{1\mathrm{/}2\cdot (1-1024)}{-3}=\frac{1\mathrm{/}2\cdot (-1023)}{-3}=\frac{-511.5}{-3}=\mathrm{170.5.}$

Exercício 9: Encontre o valor de $�$ para que o $�$-ésimo termo de uma PG com ${�}_1=9$ e $�=1\mathrm{/}3$ seja igual a 1/243.

Solução: ${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{(�-1)}=\frac{1}{243}\mathrm{.}$ Resolvendo para $�$: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{(�-1)}=\frac{1}{243\cdot 9}=\frac{1}{2187}\mathrm{.}$ Como $1\mathrm{/}3$ elevado a qualquer potência não é igual a 1/2187, percebemos que $�-1=7$, o que implica que $�=8$.

Exercício 10: Calcule a razão $�$ de uma PG onde o quarto termo é 125 e o sétimo termo é 100.

Solução: Usando a fórmula geral, temos: $125={�}_1\cdot {�}^{(4-1)}$ $100={�}_1\cdot {�}^{(7-1)}$ Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos: $\frac{100}{125}=\frac{{�}_1\cdot {�}^{(7-1)}}{{�}_1\cdot {�}^{(4-1)}}$ $\frac{4}{5}={�}^3\mathrm{.}$ Portanto, $�=\sqrt[3]{4\mathrm{/}5}\mathrm{.}$

Exercício 11: Encontre o décimo termo de uma PG onde ${�}_1=10$ e $�=1\mathrm{/}10$.

Solução: ${�}_{10}={�}_1\cdot {�}^{(10-1)}=10\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^9=\frac{10}{10^9}=\frac{1}{10^8}\mathrm{.}$

Exercício 12: Calcule a soma dos primeiros 6 termos de uma PG com ${�}_1=3$ e $�=2\mathrm{/}3$.

Solução: ${�}_6={�}_1\cdot \frac{1-{�}^6}{1-�}=3\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^6}{1-\frac{2}{3}}=3\cdot \frac{1-\frac{64}{729}}{\frac{1}{3}}=3\cdot \frac{\frac{729}{729}-\frac{64}{729}}{\frac{1}{3}}=3\cdot \frac{\frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}=3\cdot \frac{665}{729}\cdot 3=\frac{59985}{243}\mathrm{.}$

Exercício 13: Determine o valor de $�$ para que o $�$-ésimo termo de uma PG com ${�}_1=5$ e $�=4$ seja igual a 1280.

Solução: ${�}_{�}={�}_1\cdot {�}^{(�-1)}=5\cdot 4^{(�-1)}=1280.$ Resolvendo para $�$: $4^{(�-1)}=\frac{1280}{5}=256.$ $4^{(�-1)}=4^4\mathrm{.}$ Portanto, $�-1=4$, o que implica que $�=5$.

Exercício 14: Encontre a soma infinita de uma PG com ${�}_1=2$ e $�=-1\mathrm{/}2$.

Solução: Neste caso, a soma infinita converge, pois $\mathrm{\mid }-1\mathrm{/}2\mathrm{\mid }<1$. ${�}_{\mathrm{\infty }}=\frac{{�}_1}{1-�}=\frac{2}{1-(-1\mathrm{/}2)}=\frac{2}{3\mathrm{/}2}=\frac{4}{3}\mathrm{.}$

Exercício 15: Calcule a razão $�$ de uma PG onde o terceiro termo é -8 e o quarto termo é 16.

Solução: Usando a fórmula geral, temos: $-8={�}_1\cdot {�}^{(3-1)}$ $16={�}_1\cdot {�}^{(4-1)}$ Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos: $\frac{16}{-8}=\frac{{�}_1\cdot {�}^{(4-1)}}{{�}_1\cdot {�}^{(3-1)}}$ $-2=�\mathrm{.}$

Estes exercícios e soluções cobrem uma variedade de situações envolvendo progressões geométricas, ajudando a solidificar sua compreensão dos conceitos básicos. À medida que você se torna mais familiarizado com PGs, estará preparado para enfrentar desafios mais complexos e aplicá-los em diversas áreas da matemática e além. A prática é fundamental para aprofundar seu conhecimento em matemática, e as progressões geométricas são uma excelente maneira de começar.